Hình Thoi Và Tất Cả Những Vấn Đề Liên Quan Mà Bạn Chưa Biết

Hình thoi

1.Hình thoi là gì?

Hình thoi
Dễ dàng bắt gặp trong vật dụng hằng ngày

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và các cạnh đối diện sẽ song song với nhau. Tất cả các hình thoi đều là hình bình hành, nhưng không phải tất cả các hình bình hành đều là hình thoi. Tất cả các hình vuông đều là hình thoi, nhưng không phải tất cả các hình thoi đều là hình vuông. Các góc bên trong đối diện của hình thoi là đồng dư. Các đường chéo của hình thoi luôn phân giác vuông góc với nhau.

1.1. Đặc điểm

  • Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
  • Hình thoi cũng được xem là một hình bình hành.

1.2. Một hình thoi có thể có ba tên bổ sung

Hình thoi

Lozenge

Kim cương

1.4. Tính chất của hình thoi

hình thoi
Tính chất về cạnh, góc và đường chéo

1.4.1 Tính chất về cạnh

  • Một trong hai đặc điểm tạo nên sự độc đáo của hình thoi là bốn cạnh của nó có chiều dài bằng nhau, hay còn gọi là đồng dư. Đặc tính nhận dạng khác là các cạnh đối diện song song với nhau.
  • Nếu bạn có một tứ giác chỉ có một cặp cạnh song song thì đó chắc chắn không có hình thoi (vì hai cạnh của nó không thể có cùng độ dài). Đó là một hình thang .
  • Nếu bạn có một tứ giác với hai cặp cạnh đối song song, đó có thể có một hình bình hành. Nếu độ dài các cạnh bằng nhau thì đó chắc chắn là hình “kim cương”.

1.4.2 Tính chất về góc

Ngoài bốn cạnh đó, hình thoi còn có bốn góc bên trong. Bạn cũng có thể dựng hai đường chéo bên trong hình thoi bằng cách nối các đỉnh (góc) đối diện.

Cho dù bạn sắp xếp bốn vật thể thẳng đó như thế nào trên mặt phẳng, bạn sẽ luôn có hai cặp góc đối diện bằng nhau. Nếu góc này là 30 độ thì góc đối diện cũng sẽ là 30 độ..

1.4.3 Tính chất về đường chéo

Một tính chất tuyệt vời và hiếm có của hình thoi là các đường chéo của nó luôn vuông góc với nhau. Tạo một hình “kim cương” trên giấy và nối hai cặp đỉnh đối diện lại với nhau để tạo thành 2 đường chéo, bạn sẽ thấy được điều này. Các đường chéo luôn vuông góc với nhau.

Các đường chéo này cũng cắt nhau và cắt chính xác vào trung điểm. Hai đường chéo chia hình thoi thành bốn tam giác vuông.

Tính chất của hình thoi có thể tóm gọn như sau:
  • Các góc đối nhau sẽ có độ lớn bằng nhau.
  • Hai đường chéo của hình thoi sẽ  vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
  • Hai đường chéo là đường phân giác của các góc.
  • Hình thoi có tất cả các tính chất của một hình bình hành.

2. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Có 2 dấu hiệu để có thể xác định được đó là hình “kim cương”.

Hình tứ giác đặc biệt
  • Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình “kim cương”.
  • Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau là  “kim cương”.
  • Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là “kim cương”.
Hình bình hành đặc biệt
  • Hình thoi là một trường hợp đặc biệt của một hình bình hành vì nó có đầy đủ tính chất của một hình bình hành và còn có một số tính chất khác:
  • Hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau là hình “kim cương”.
  • Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình “kim cương”.
  • Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình “kim cương”.

3. Công thức tính chu vi hình thoi

hình thoi
Công thức tính chu vi

Chu vi hình thoi được tính bằng công thức tổng độ dài các đường bao quanh hình, cũng chính là tổng độ dài đường bao quanh toàn bộ diện tích hình.

Để tính chu vi hình “kim cương”, ta tính tổng độ dài của 4 cạnh bao quanh. 

Công thức tính chu vi hình “kim cương”:

P = a x 4

Trong đó:

  • P là chu vi.
  • a là chiều dài của cạnh.

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có độ dài 4 cạnh bằng nhau và bằng 5 cm. Tìm chu vi?

Áp dụng công thức tính chu vi, ta có P = 5 x 4 = 20 cm.

4. Công thức tính diện tích hình thoi

hình thoi
Công thức tính diện tích

Diện tích hình thoi được đo bằng độ lớn của bề mặt hình, là phần mặt phẳng ta có thể nhìn thấy của nó.

Diện tích của hình “kim cương” bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.

Công thức tính diện tích hình “kim cương”:

SABCD = ½ (d1 x d2)

Trong đó:

  • S là diện tích.
  • d1 và d2 là hai đường chéo của hình “kim cương”.

Ví dụ: Có một tấm bìa hình thoi, hai đường chéo của miếng bìa này có kích thước lần lượt là 4 cm, và 6 cm. Hỏi diện tích của tấm bìa đó bằng bao nhiêu?

Ta có d1 = 4 cm, d2 = 6 cm, áp dụng công thức tính diện tích hình “kim cương”:

SABCD = ½ (d1 x d2)

= ½ (4 x 6) = 12 cm2

Áp dụng theo công thức tính diện tích hình “kim cương”, ta có d1 = 6 cm và d2 = 8 cm. Áp dụng công thức và thay số, ta có kết quả như sau:

S = 1/2 x (d1 x d2) = 1/2 (6 x 8) = 1/2 x 48 = 24 cm2.

Vậy, tấm bìa có diện tích là 24 cm2.

4.1. Công thức tính diện tích hình thoi dựa vào cạnh đáy và chiều cao

S = h x a

Trong đó:

– h: Chiều cao của hình “kim cương”.

– a: Cạnh đáy

Ví dụ: Cho hình thoi GHIK, có cạnh GH = HI = IK = KG = 5 cm, độ dài chiều cao bằng 3 cm. Tính diện tích của hình GHIK.

Giải:

Ta có độ dài các cạnh a = 5 cm, chiều cao h = 3 cm.

Áp dụng theo công thức diện tích S = h x a

= 3 x 5 

= 15 cm2

Vậy, GHIK có diện tích là 15 cm2.

4.2. Công thức tính diện tích hình thoi dựa vào hệ thức trong tam giác (Nếu biết góc)

Công thức: S = a2 sin A =a2 Sin B = a2 Sin C = a2 Sin D

Trong đó:

  • a: độ dài của cạnh.

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD, có cạnh = 3 cm, góc B = 30 độ. Tính diện tích ABCD đó?

Giải:

Ta có a = 3 cm, góc B = 30 độ. 

Áp dụng vào công thức  S = a2 sin A = a2 Sin B = a2 Sin C = a2 Sin D

Ta tìm được S = (3)2 x sin (30) = 4,5 cm2

Vậy diện tích của hình ABCD là 4,5 cm2.

5. Bài tập áp dụng

hinh-thoi
hình thoi

Bài 1: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 3 m, có góc BAD = 30 độ. Tính diện tích của hình ABCD.

Giải:

Do ABCD là hình thoi nên các tam giác tạo thành là tam giác cân, gọi I là trung điểm hai đường chéo AC và BD. Ta có AI vuông góc với BD vì vậy góc IAB = 15 độ.

Do đó, AI = AB x cos IAB = 3 x Cos 15 = 2,88 m.

Theo định lý Pytago, xét tam giác vuông ABI ta có:

BI2= AB2– AI2= 9 – 8,29 = 0,71

=> BI = 0,84 m

Ta có: AC = 2 x AI = 2 x  2,88 = 5,76 m

BD = 2 x BI = 2 x 0,84 = 1,68 m

Do đó, diện tích của hình ABCD = ½ x AC x BD = ½ x 5,76 x 1,68 = 4.83 (m2)

Bài 2: Tính diện tích hình thoi ABCD, khi biết độ dài cạnh AB = 6 cm, độ dài đường chéo AC = 8 cm.

Giải:

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, ta có AI = IC = 4 cm

Xét tam giác vuông ABI, ta có:

BI2= AB2– AI2 = 36 – 16 = 20 

=> BI = 4,4 cm.

Ta lại có BD = 2 x BI = 2 x 4,4 = 8,8 cm

Diện tích hình ABCD S = ½ (BD x AC) = ½ (8,8 x 8) = 35,2 cm2

6. Công thức tính đường chéo

Đường chéo là đường nối các đỉnh đối diện của hình thoi lại với nhau. Hai đường chéo sẽ vuông góc với nhau tại giao điểm của chúng. Đường chéo là đại lượng quan trọng nhất để tìm ra diện tích hình “kim cương”. 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường đồng thời vuông góc với nhau được gọi là đường phân giác của mỗi góc.

Dựa vào các công thức tính chu vi và diện tích ở trên, chúng ta cũng có thể dễ dàng tìm được công thức tính đường chéo như sau:

Tính độ dài đường chéo khi biết diện tích và độ dài của 1 đường chéo còn lại

Từ công thức tính S = ½ ( d1 x d2 ) ta có công thức độ dài đường chéo như sau :

d1 = (S x 2) : d2 hoặc d2= (S x 2) : d1

Trong đó: 

  • S là diện tích.
  • d1 và d2 là độ dài 2 của đường chéo.

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 10 cm, đường cao bằng 6 cm và AC<BD. Độ dài hai đường chéo AC và BD lần lượt là bao nhiêu?

Ta có SABCD = 10 x 6 = 60 cm2

Gọi độ dài hai đường chéo AC và BD lần lượt là a và b (a > b > 0)

Khi đó ½ ab = 60

⇔ 2ab = 240

Gọi giao điểm của 2 đường chéo AC và BD là O

Vì ABCD là hình thoi nên AC sẽ vuông góc với BD.

=> Tam giác AOB vuông tại O

=> AB2 = OA2 + OB2

Mà ta có OA = ½ b, OB = ½ a do tứ giác ABCD là hình thoi

Nên ¼ (a2 + b2) = 10 2

⇔ a2 + b2 = 400

Ta có:

a2 + b2 = 400 ⇔a2 + b2 + 2ab = 400 + 240 ⇔ (a + b)2 = 640 ⇔ a + b = 25

a2 + b2 = 400 ⇔ a2 + b2 – 2ab = 400 – 240 ⇔ (a – b)2 = 160 ⇔ a – b = 13

Giải hệ phương trình, tìm được a = 19, b = 6.

Vậy AC có độ dài là 19 và BD có độ dài là 6.

7. Cách chứng minh

Bài tập vận dụng
Cách chứng minh

Có 4 cách để chứng minh một hình là hình “kim cương”

  • Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
  • Hình bình hành là hình có hai cạnh kề bằng nhau.
  • Hình bình hành là hình có hai đường chéo vuông góc với nhau.
  • Hình bình hành là hình có một đường chéo là tia phân giác của một góc.

8. Câu hỏi thường gặp

hình thoi
Vấn đề liên quan

8.1 Hình vuông có phải là hình thoi không?

Nếu bạn có một hình thoi với bốn góc trong bằng nhau, bạn có một hình vuông . Hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thoi, vì nó có bốn cạnh dài bằng nhau và có bốn góc vuông.

8.2 Cách vẽ hình thoi GHIK chuẩn, nhanh chóng và vô cùng đơn giản

Có 2 cách để vẽ chính là thước kẻ – êke và thước kẻ – compa

Cách 1 : Vẽ bằng thước kẻ và êke

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng GI bất kì và xác định trung điểm O của đoạn thẳng GI đó.

Bước 2: Dùng êke vẽ đoạn thẳng HK vuông góc với GI tại O và nhận trung điểm O là trung điểm của HK.

Bước 3: Nối các đỉnh G với H, H với I, I với K, K với G => được hình thoi GHIK.

Cách 2 : Vẽ bằng thước kẻ và compa

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng GI có độ dài bất kỳ.

Bước 2: Dùng compa, mở rộng độ mở compa lớn hơn 1/2 GI. Vẽ cung tròn tâm G và tâm I sao cho hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm, hai giao điểm này gọi là H và K.

Bước 3: Nối các điểm G, H, I, K với nhau => được hình thoi GHIK.

Với những thông tin mà bài viết đã cung cấp về hình thoi, hi vọng có thể giúp bạn biết thêm nhiều điều thú vị về nó. Có thể giúp ích được bạn trong học tập và có thể vận dụng vào cuộc sống hằng ngày.

BÌNH LUẬN

Vui lòng nhập bình luận của bạn
Vui lòng nhập tên của bạn ở đây